一、如何利用拉格朗日中值定理求函数极限
拉格朗日中值定理有一个变形，即所谓的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，0<θ<1
其中的θ有一个很重要的性质：
若f(x)的二阶导在x0点连续，且不等于0，则
证明如下：
由于f''(x)在x0点连续，所以有
同时代入有限增量公式，可得
利用f"(x)在x0点处的连续性及f"(x0)≠0，在等式两边同取极限（令Δx趋于0），即可得结论。
扩展资料：
拉格朗日中值定理的运动学意义
对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。
二、拉格朗日中值定理求极限
一、拉格朗日中值定理求极限公式：
lim［ln（1+tanx）-ln（1+sinx）］/x³ （x→0）
根据拉格朗日中值定理，对每一个在0附近邻域的x，tanx~sinx是一个考虑的区间，设f（x）＝ln（1+x），那么有：
ln（1+tanx）-ln（1+sinx）
＝f'（ξ）·（tanx-sinx）
f'（ξ）＝1/（1+ξ），且ξ在tanx与sinx之间。
我们可以把ξ看成是x的一个函数即ξ（x），那有极限＝lim［（tanx-sinx）/（1+ξ（x））］/x³
x→0时，sinx和tanx都→0，所以ξ（x）→0。故＝lim（tanx-sinx）/x³，根据洛必达法则就可得出极限为1/2。
三、高等数学，用中值定理求极限，求详细过程
1、根据拉格朗日中值定理
arctana-arctanb=1/(1+ξ²)·(a-b)
其中，ξ在a与b之间，
∴arctan(π/n)-arctan[π/(n+1)]
=1/(1+ξ²)·[π/n-π/(n+1)]
=π/[n(n+1)(1+ξ²)]
其中，ξ在π/(n+1)与π/n之间，
∴原式=limn²·π/[n(n+1)(1+ξ²)]
=limπ/[(1+1/n)·(1+ξ²)]
=π
【∵lim(1+ξ²)=1】
2、根据拉格朗日中值定理
e^a-e^b=e^ξ·(a-b)
其中，ξ在a与b之间，
∴e^[1/(2x-1)]-e^[1/(2x+1)]
=e^ξ·[1/(2x-1)-1/(2x+1)]
=2e^ξ/(4x²-1)
其中，ξ在1/(2x-1)与1/(2x+1)之间，
∴原式=limx²·2e^ξ/(4x²-1)
=lim2e^ξ/(4-1/x²)
=1/2
【∵lime^ξ=e^0=1】
四、极限公式是什么呢?
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）＾x的极限等于e；或当x→0时，（1+x）＾（1/x）的极限等于e。
求极限基本方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
